2022年2月16日。

    正月十六。

    元宵節(jié)剛過。

    沉寂了一個月的江大校園，再次變得喧鬧起來。

    一大早，龐學林剛抵達辦公室，外面突然傳來一陣吵鬧聲。

    緊接著，龐學林的辦公室大門，砰的一下被人推開。

    許久未見的佩雷爾曼急匆匆的闖了進來。

    左亦秋也緊跟著從后面追了上來，說道：“龐教授不好意思，我沒攔住這位先生……”

    龐學林微微一愣，笑了起來，說道：“沒事，小左，你先出去吧�！�

    接著，他將目光轉(zhuǎn)向佩爾曼道：“格里戈里，找我有什么事嗎？”

    佩雷爾曼看起來蓬頭垢面，滿臉大胡子，蜷曲的頭發(fā)披在腦后，看起來油膩膩的，也不知道多久沒洗了。

    他穿了一身棕色的夾克，袖口漆黑一片。

    龐學林有將近四五個月沒有見過佩雷爾曼了，兩人上次見面還是在江城大學龐學林數(shù)學科學研究中心落成掛牌儀式上的時候，佩雷爾曼過來露了個臉，然后就匆匆的離開了。

    最近這一年多的時間，他把全部精力都投入到了霍奇猜想研究中去。

    “龐教授，我證明霍奇猜想了！”

    佩雷爾曼揮舞著手中的稿紙，神情振奮道。

    “證明霍奇猜想了？”

    龐學林微微一愣，霍奇猜想的難度他很清楚。

    在星際穿越世界，他被樹老困在五號行星的時候，花了大半年時間攻關(guān)過這個猜想，一直沒成功。

    他都沒想到，在現(xiàn)實世界，佩雷爾曼竟然把這個猜想給解決了。

    “我看看�！�

    佩雷爾曼將手中的稿紙遞給了龐學林。

    龐學林稿紙，開始一頁頁的翻閱起來。

    佩雷爾曼也不著急，大馬金刀的在一旁的小沙發(fā)上坐下。

    沒過一會兒，左亦秋端著一杯熱氣騰騰的咖啡進來，放在了佩雷爾曼生身前。

    隨后，左亦秋悄悄將辦公室門關(guān)上。

    看了將近一個小時，龐學林放下手稿，沉吟片刻，說道：“你這個證明方法有點意思，你的手稿給新一看過了嗎？”

    剛剛龐學林把這份手稿瀏覽了一遍，大概厘清楚了佩雷爾曼的證明思路。，

    不過具體證明過程，還需要仔細研究。

    “還沒�！�

    佩雷爾曼搖了搖頭道。

    龐學林說道：“我把望月新一教授也找來，讓他跟著看看吧。”

    說著，龐學林拿起桌上的電話，給望月新一撥了過去。

    半小時后，望月新一急匆匆的來到了龐學林的辦公室。

    看到佩雷爾曼也在，望月新一臉上流露出驚訝之色：“說道，格里戈里，你怎么會在這里？”

    緊接著，望月新一似乎想到了什么，眼中流露出不可思議的神色，說道：“你該不會把霍奇猜想給解決了吧？”

    佩雷爾曼這段時間一直在閉關(guān)，他是知道的。

    今天他突然過來找龐學林，在加上龐學林打電話給自己，望月新一一下子猜到了佩雷爾曼的來意。

    佩雷爾曼點了點頭，沒有說話。

    龐學林笑了起來，說道：“新一，這是佩爾曼關(guān)于霍奇猜想的證明手稿，你也看一看，是不是有什么問題？”

    說著，龐學林將剛剛復印好，還帶著一絲溫熱的手稿復印件遞給了望月新一。

    剛剛在望月新一過來的過程中，龐學林將手稿復印了一邊。

    “好！”

    望月新一也不客氣，接過手稿，找了把椅子在龐學林的對面坐下。

    龐學林同樣拿出一份稿紙，在上面寫寫畫畫。

    辦公室里安靜了下來。

    龐學林和望月新一都在仔細研究者佩雷爾曼的手稿。

    佩雷爾曼自己，則優(yōu)哉游哉地喝著咖啡。

    他是一個很耐得住性子的人，就算沒人跟他說話，他一個人坐著，也能待上一整天。

    時間一分一秒過去，臨近中午的時候，龐學林找來左亦秋，讓她幫三人訂三份外賣。

    吃完飯，龐學林和望月新一繼續(xù)研究佩雷爾曼的手稿。

    龐學林按照佩雷爾曼的思路，試圖將整個霍奇猜想的證明過程從頭到尾推演一遍。

    不知不覺間，到了下午三點多。

    望月新一終于抬起頭說道：“我感覺整體思路沒什么問題，但細節(jié)推論，還需要進一步研究�！�

    佩雷爾曼不由得松了一口氣，臉上露出笑容，將目光轉(zhuǎn)向龐學林道：“龐教授，你怎么看？”

    龐學林沒有說話，沉吟片刻，出聲道：“格里戈里，你過來一下。在手稿的第五頁，引理3.3.4中：??是定義在黎曼流形??4中的區(qū)域Ω上無臨界點的光滑函數(shù)。在區(qū)域Ω中??的最速下降線是水平集的正交曲線。換句話說，無臨界點函數(shù)??的最速下降線就是在區(qū)域內(nèi)切向量場???的積分曲線。這里你準備如何求解水平集和最速下降線曲率？”

    佩雷爾曼沉思片刻，拿起筆，在稿紙上寫道：

    【設(shè){???1，???2}是單位正交切標架，若???1是曲線的單位切向量，那么光滑曲線的測地曲率為??=，其中??是曲線的弧長參數(shù).由{???1，???2}是單位正交切標架，測地曲率同樣可以表示為??=?<???1，D???2d??>=?div(???2)，這等價于說，光滑曲線的測地曲率是曲線的單位法向量的微分�！�

    龐學林淡淡一笑，對佩雷爾曼的解釋不可置否，又翻到了第十頁，指著上面的證明道：“那這里，在空間形式????中，??是定義在嚴格凸環(huán)??2???1上的調(diào)和函數(shù)，??連續(xù)到??2???1。若??滿足??|????1= 1，??|????2=0，那么，就有|???|(??)>0，???∈??2???1，并且??的水平集嚴格凸。你在最后部分是如何給出極值原理的？”

    佩雷爾曼繼續(xù)解釋：【Ω是????中有界連通區(qū)域，??∈??2(Ω)????(Ω)，在Ω上考慮算子??????=??????(??)????????+????(??)??????+??(??)??……】

    “那這里呢？??是具有常截面曲率的黎曼流形????上的光滑函數(shù)，????????和????分別是????上的 Riemannian 曲率張量和 Ribsp;曲率，那么??????=????????+??????????????和????????=???????????2????????????????+????????????+R??????????……這個如何證明？”

    【取 1 ≤??，??，??，??，??≤??， 1 ≤??≤??+ 1。取????中的正交標架場{???1，???2，……，?????，?????+1}，其中?????+1為外法向，則{???1，???2，……，???i}為切標架場，且???=?????+1，運動方程為……】

    ……

    在一旁觀看的望月新一有些奇怪，龐學林怎么老是在黎曼流形問題上打轉(zhuǎn)，而且問的都是一些比較淺顯的問題，有些引理或者定義，推導出來是非常顯而易見的。

    倒是佩雷爾曼并沒有表現(xiàn)出多少不耐煩的神情，基本上龐學林問什么，他就解釋什么。

    時間一分一秒過去，不知不覺，又過了一個多小時。

    龐學林終于圖窮匕見：“你這里由一個緊致無邊的n維流形M的同調(diào)群Hn（M，Z）=0，推出M是不可定向的，然后我們由定理4.6.7可知，所有偶數(shù)維的射影空間都是不可定向的，它們的定向二重覆蓋空間是同維數(shù)的球面，那么我想問一下，定向二重覆蓋為環(huán)面T^2的克萊因瓶，它的空間曲率是黎曼流形上的光滑函數(shù)嗎？”

    龐學林這話一出口，不僅佩雷爾曼呆滯了，就連望月新一也呆住了。

    這是一個極為細微的邏輯漏洞，從初始設(shè)定一直到四維克萊因瓶的定向問題，相當于霍奇猜想證明全過程的基礎(chǔ)。

    假如這一段出現(xiàn)問題了，那么基本上意味著整個證明過程有著重大缺陷。

    但望月新一震驚的并非是這一點。

    而是龐學林竟然能夠在這么短的時間內(nèi)，就察覺到了如此細微的邏輯漏洞。

    要知道佩雷爾曼的手稿一共三十多頁，他還省略了很多環(huán)節(jié)，如果把這部分手稿轉(zhuǎn)換成論文，至少還要再補充一半以上的內(nèi)容。

    之前望月新一花了將近五小時的時間，才算將這篇論文細細讀完。

    要說理解的話，望月新一只能說看明白了佩雷爾曼的整體證明思路，對里面的一些細節(jié)，他還要花幾天時間研究。

    而龐學林在讀完這篇論文的同時，竟然在如此短的時間內(nèi)，完全理解了佩雷爾曼的證明思路，甚至還發(fā)現(xiàn)了其中存在的非常細微的漏洞。

    這里面所展現(xiàn)的驚人思維能力和數(shù)學直覺，有些超乎望月新一的想象。

    一般情況下，像佩雷爾曼和望月新一這樣的頂尖數(shù)學家之間，單從思維能力而言，其實差距并不大。

    真正體現(xiàn)數(shù)學家之間差距的是看對方是否具有創(chuàng)造性思維，能不能在別人想不到的領(lǐng)域開辟全新的戰(zhàn)場。

    而這一點，就需要長時間的積累以及偶然間的靈光一閃了。

    望月新一原以為，自己和龐學林之間就算存在差距，但是至少在邏輯思維能力上，不存在質(zhì)的區(qū)別。

    但今天，龐學林的表現(xiàn)卻完全超出了他的想象。

    這到底是哪來的怪物？

    佩雷爾曼也意識到了這一點，不過此時的他倒沒想那么多。

    他從龐學林手中拿過論文的手稿，又從頭到尾推演了一遍。

    最終的結(jié)果證明，龐學林是正確的。

    佩雷爾曼臉上難掩失落之色，畢竟費了這么大心機，最終卻因為一個小漏洞，而前功盡棄，實在是讓人有些難以接受。

    不過他還是很快就調(diào)整好了心態(tài)。

    在數(shù)學界，一項研究成果出來之后，被挑漏洞是很正常的事。

    就好比當年的安德魯·懷爾斯，當年證明費馬大定理的時候，也曾被學術(shù)界挑出過漏洞。

    只不過后來他又花了一年時間將這個漏洞補齊，才算證明了費馬大定理。

    望月新一更是此中好手。

    當初為了證明ABC猜想，自己發(fā)明了一套宇宙泰西米勒理論，結(jié)果學術(shù)界誰也看不懂，扯皮了十多年。

    如果不是后來龐學林橫空出世，證明這一猜想，說不定，望月新一到現(xiàn)在還在跟數(shù)學界的人扯皮。

    “龐，如果沒有其他事的話我先回去了，我得好好想想，這個漏洞還有沒有補救的辦法�！�

    三人又聊了會兒天，佩雷爾曼便主動告辭離去。

    看著佩雷爾曼的背影消失在門后，望月新一好奇道：“龐，你覺得佩雷爾曼能證明霍奇猜想嗎？”

    龐學林搖了搖頭，說道：“不知道，看佩雷爾曼自己能不能補齊那個漏洞了，至少在整體的思路方向上，我覺得沒什么問題的。對了，這段時間你的研究怎么樣了？”

    自從ABC猜想被證明之后，望月新一就將研究方向轉(zhuǎn)向了連續(xù)統(tǒng)勢領(lǐng)域。

    所謂的連續(xù)統(tǒng)勢，表述起來很簡單，指的是實數(shù)集合中到底含有多少個實數(shù)?或者說，實數(shù)集合的勢到底是多大?

    連續(xù)統(tǒng)勢確定問題是集合論中最古老最基本最自然的一個問題。

    對于(無窮)集合來講，兩個集合等勢的充分必要條件是它們之間存在一個一一對應(yīng)或者雙射。

    眾所周知，自然數(shù)可以被用來作為有限集合所含元素個數(shù)的多少的一種度量：兩個有限集合等勢的充分必要條件是它們含有相同個數(shù)的元素。

    因此，每一個有限集合的勢都唯一地由一個自然數(shù)來確定。

    類似的，無限集合的勢也都唯一地由一個基數(shù)?α來確定。

    最小的無窮基數(shù)是?0 ，它代表著全體自然數(shù)所組成的集合的勢。

    ?0之后的第一個基數(shù)是?1，再其后的第一個基數(shù)是?2，然后是?3，等等……

    一般來說，緊接著基數(shù)?α之后的基數(shù)是?α+1：兩個基數(shù)?α和?β的大小之比較由它們的下標(序數(shù)α和β)的長短來唯一確定。

    每一個自然數(shù)n都是一個比? 0 小的基數(shù).對于無限基數(shù)來說，?0＜?1＜? 2＜?3＜……

    tor于1873年12月證明了由全體實數(shù)所組成的集合(即連續(xù)統(tǒng))的勢至少是?1。

    現(xiàn)在問題出來了：到底哪一個基數(shù)?α是連續(xù)統(tǒng)的勢呢？

    是?1?還是?2，?3，還是別的一個什么?α？

    bsp;當年曾經(jīng)猜想：連續(xù)統(tǒng)的勢是第一個不可數(shù)的基數(shù)?1。

    這就是tor連續(xù)統(tǒng)猜想，也是希爾伯特(Hilbert)1900年提出的23個問題中的第一問題。

    望月新一搖了搖頭，苦笑道：“我現(xiàn)在只是有個頭緒，想要真正搞明白這個問題，估計還要很長時間呢�！�

    接著，望月新一又和龐學林聊了一下近期龐氏幾何研討班的問題，這才告辭離去。

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