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而阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理的出現(xiàn)，則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的極佳例子。
它的出現(xiàn)，不僅在內(nèi)容上，溝通了分析與拓?fù)鋵W(xué)兩大領(lǐng)域，而且在研究方法上，涉及道分析、拓?fù)�、代�?shù)幾何、偏微分方程、多復(fù)變函數(shù)等許多核心數(shù)學(xué)分支。
而且阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，在物理學(xué)上的“楊-米爾斯理論”中獲得了重要應(yīng)用。
因而阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理，被譽(yù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最大成就之一。
阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理這樣涉及面如此之廣的問題，毫無疑問，是超級(jí)困難的。
如果是在進(jìn)來算學(xué)碑之前，哪怕是給十個(gè)程理，他也不可能靠自己推導(dǎo)出這條定理。哪怕是他已經(jīng)實(shí)現(xiàn)知道這個(gè)定理的最終形式，也不可能從頭把這條定理推到出來。
但是，在經(jīng)過這近3000層的問題洗禮，還有算學(xué)碑里神秘資訊的淬煉后，程理的數(shù)學(xué)水平已經(jīng)有了一個(gè)恐怖的飛躍。
所以，在他自己都不敢想象中，他僅僅用了20多分鐘就把阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理給推導(dǎo)出來了。
在解決了阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理后。
程理就來到了第2996層，而這一層的問題，也同樣艱難，這是關(guān)于“如何解孤立子方程”的一道問題。
對(duì)非線性數(shù)學(xué)問題越來越重視，也是20世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)特。
在20世紀(jì)上半葉，線性偏微分方程獲得了很大進(jìn)展。但是與之相比，非線性方程的研究卻困難重重。直到數(shù)學(xué)家們開始對(duì)“孤立子”方程的研究后，非線性方程領(lǐng)域才得到了重大的突破和發(fā)展。
這一切起源于，一種名為“孤立波”現(xiàn)象的研究。
所為的孤立波，就是指船只突然停止時(shí)激起的水波。
最早1834年，英國工程師拉塞爾，就對(duì)這種水波有所研究，他將這種水波形容為“一個(gè)滾圓而平滑，輪廓分明的巨大孤立波峰，以很快的速度離開船頭，向前運(yùn)動(dòng)著。在行進(jìn)過程中，它的形狀和速度并沒有明顯的改變……”拉塞爾在做出這樣的描述時(shí)，還抱怨當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家，并未提供能在數(shù)學(xué)上對(duì)這種孤立波描述的工具。
直到1895年，荷蘭數(shù)學(xué)家科特維格才給出了孤立波現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，一個(gè)非線性偏微分方程，這個(gè)方程也被成為KdV方程。
KdV方程雖然被提出，但是以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平卻無法解出這個(gè)方程。
于是關(guān)于KdV方程的研究在半個(gè)多世紀(jì)里，就這樣停滯不前。
不過，問題并沒有就這樣結(jié)束。
隨著物理學(xué)的發(fā)展，人們對(duì)各種波的研究加深后。
很多人又開始對(duì)孤立波進(jìn)行了進(jìn)一步研究。
然后，人們發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)不同的孤立波在碰撞后，仍表現(xiàn)為兩個(gè)形狀不變的孤立波，然后在碰撞交錯(cuò)后，仿佛什么事情都沒發(fā)生一樣，繼續(xù)朝著自己原來路線前進(jìn)著。
于是，人們把這種兩個(gè)孤立波相撞后保持不變的現(xiàn)象，稱之為“孤立子”
KdV方程于是就被成為了孤立子方程。
孤立子問題一出現(xiàn)后，就馬上引起了人們的廣泛。
因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，孤立子方程可以描寫許多自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)物理基本方程。
最后經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力后，才發(fā)展出一套“散射反演方法”，成功解出孤立子方程。
程理也正是用“散射反演方法”解答了第2996層的問題。
孤立子在非線性波理論、基本粒子理論等領(lǐng)域有著廣泛而重要的作用。
它的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)導(dǎo)致重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)例證。它表明，數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)方法的三大環(huán)節(jié)（理論、實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)）之一，已經(jīng)并將進(jìn)一步在當(dāng)代基礎(chǔ)理論、應(yīng)用技術(shù)等許多方面發(fā)揮重要作用。
現(xiàn)在人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)很多在應(yīng)用中十分重要的非線性方程，如正弦-戈登方程、非線性薛定諤方程等都具有這種孤立子解。
人們還發(fā)現(xiàn)在等離子體光纖通訊中也有孤立子現(xiàn)象，科學(xué)家們還認(rèn)為，神經(jīng)細(xì)胞軸突上傳導(dǎo)的沖動(dòng)、木星上的紅斑等都可以看做是孤立子。
所以，孤立子方程，也是通過數(shù)學(xué)研究而導(dǎo)致重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)典型例證。
在孤立子方程問題之后，程理在第2997層，遇到了著名的“分形問題”。
20世紀(jì)數(shù)學(xué)，在幾何概念上有兩次飛躍，都與空間維度相關(guān)。
一個(gè)是，從有限維道無窮維的飛躍。
另外一個(gè)就是，從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍。
而整數(shù)維道分?jǐn)?shù)維的飛躍，發(fā)生在20世紀(jì)下半葉，起源于法國數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅1967年發(fā)表的《英國海岸線有多長？》一文中。
這實(shí)際上，就是分形問題研究的開始。
海岸線問題，是一個(gè)實(shí)際的地理測量問題，科學(xué)家在實(shí)際考察中發(fā)現(xiàn)，不同國家出版的百科全書中，對(duì)英國海岸線長度，竟然有不同的長度記載，而且誤差竟然超過20%！
然后，數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅從數(shù)學(xué)上研究這一個(gè)問題，認(rèn)為這種超常的誤差，與海岸線形狀的不規(guī)則有關(guān)。
由于這種不規(guī)則，在不同測量尺度下將得出不同的測量結(jié)果。
最后蒙德爾布羅采用“柯克曲線”作為思考海岸線問題的數(shù)學(xué)模型。
所為的柯克曲線，就是以一個(gè)平面等邊三角形的每條邊的中央三分之一為底，向外側(cè)作一等邊三角形，然后抹去這三角形的底邊，就可以得到一條新的閉折線。
然后，在新曲線的每條邊上重復(fù)剛才的作圖，就可以這樣無限的繼續(xù)畫下去。
這樣的一條曲線，就被成為了分形曲線。
這樣的描述，也許不太好想象和理解。
但在自然界中，有許多分形的例子。
比如雪花，就是一個(gè)典型的分形圖案，可以將上面的描述想象出就是雪花圖案的描繪過程。
柯克曲線只是具有分?jǐn)?shù)維的幾何圖形的一個(gè)例子。
蒙德爾布羅1977年正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形稱為“分形”。
并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何。
而正是隨后對(duì)分形幾何的研究，讓人們發(fā)現(xiàn)了“混沌”現(xiàn)象，從而建立了“混沌動(dòng)力學(xué)”這一全新領(lǐng)域。
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