研究巴拿赫空間之前，我們有必要完全弄清楚巴拿赫空間、希爾伯特內積空間、賦范線性空間這三者之間的區別和聯系。
賦范線性空間是距離空間，希爾伯特內積空間必然是賦范線性空間，巴拿赫空間是完備的賦范線性空間。這是三者間的基本關系。
作為資深專家，具備大師水平的數學研究者，穆勒和沈奇同樣需要依托最基礎的理論去證明體系內的定理。
內積空間中的內積可以定義范數，而范數不一定非要內積來定義。希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例，而巴拿赫空間是完備距離空間的特例。
所以，沈奇基于穆勒在1982年的一條證明重新定義如下：
“巴拿赫空間X的一個非空子集C稱為逼近緊的，是指對任意{xn}∞n=1∈C及任意y∈X，如果使得
‖xn-y‖→dist（y，C）=inf{‖xn-y‖：x∈C}，
那么{xn}∞n=1就存在一個柯西列，稱X是逼近緊的，且X的每個閉凸子集是逼近緊。”
“思路逐漸清晰，沈奇你認為一個巴拿赫空間X是逼近緊的當且僅當它具備drop性質。”穆勒教授再次檢查沈奇設定的前提條件。
巴拿赫空間綜合了泛函分析、拓撲、空間幾何等諸多分支，是一個有難度的領域，不適合初學者接觸。
“沒錯。”沈奇和穆勒交流起來非常通暢，聰明人不廢話，數學家不啰嗦。
“需要我做什么？”穆勒教授問到，并沒有擺出教授及導師的架子，他視沈奇為平等的學術合作伙伴，就如當年的哈代和拉馬努金、高斯和黎曼、歐拉和拉格朗日、歐幾里得和阿基米德。
在學術上平等對待徒弟的師傅，往往能跟弟子一同載入史冊。酷愛消滅徒弟的畢達哥拉斯，他在數學史上的聲望評價為負分。
沈奇說到：“巴拿赫空間的RNP性質和鞅理論分析就拜托穆勒教授了，你是這方面的專家。”
“OK，那我們還等什么？分頭干活吧，爭取一個月之后合稿。”穆勒教授親力親為，這畢竟是他最先提出來的一個定理，他要親手完成這項跨越三十幾個春秋、滲透復雜感情的課題。
“OK。”沈奇收拾好資料，準備離開穆勒的辦公室，去完成人生中第一個以自己姓氏命名的數學定理。
“對了，明天你去帶導修課，這是我的教案備份和學生信息，你熟悉一下。”穆勒遞給沈奇一個又厚又重的文件袋。
“看來穆勒教授的一百二十美元并不容易賺到。”沈奇笑了笑，接過文件袋這便離開。
晚上和第二天上午，沈奇開始編寫“穆勒-沈定理”他負責的證明部分。
沈奇堅持將自己的姓氏放在后面，以體現對導師的尊重。
一整個下午，沈奇仔細研究穆勒關于非歐幾何的教案，這是他的工作的一部分，他是穆勒的助教之一。
穆勒在這個學期負責普大數學系本科生的一門課程，非歐幾何。
授課有兩種形式，大課以及導修課。
大課通常安排在能容納一百多名學生的大教室中進行，主講人是教授。
前美國總統伍德羅-威爾遜在普大當校長時，新增了一個“preceptorial”課程，即導修課，那時是1905年，這門課程一直延續到今天。
導修課實行小班制，通常由助教負責，一個導修班有10-12名學生，最多不超過15名學生。
在導修班上，助教帶領本科生們復習最近一周的學業，數學系的導修課大多由解題和討論構成。
普林斯頓非常重視本科生教育，本科生們上完大課還得上導修課，每一門核心專業課程都設置導修課。
普大本科生的學業繁重，門門功課拿到A，還能泡到妹子或帥哥，又能兼顧社團活動及體育運動，那他或她一定是最優秀的少數派精英。
晚上8點，沈奇抵達小教室，這是他作為助教第一次負責導修課。
一堂導修課一般持續2個小時左右，沈奇能領到120美元的酬勞。
時薪60美元在美國不算低，畢竟沈奇從事的是專業素質較高的腦力勞動。
除了導修課的課時費之外，沈奇也有固定工資，一個月的收入有幾千美金，跟外面的白領差不多。
“先生們晚上好，我是沈奇，來自中國，你們的導修課負責人。你們可以叫我沈，或者奇，或者沈奇。來，跟著我念，濕衣嗯沈，妻衣奇，沈~奇~”沈奇對教室中的12位本科二年級學生說到，并在黑板上寫出他的名字“Shen-Qi”。
“Sion~Ki~”十二位二年級學生皆是男生，平均年齡20歲，比沈奇小一點點。
“Key，你可真年輕，你是我見過最年輕的助教。”
“嘿，Key，你已經獲得PhD了嗎？”
“Key，我猜你是雙魚座。”
小師弟們對沈奇的年齡、身份很感興趣，這么年輕的導修課負責人從沒見過呀。
“Shen”對于歪果仁來說較難掌握標準發音，于是師弟們管沈奇叫“Qi”。
因為發音習慣，念著念著，“Qi”就被師弟們念成了“Ki”，跟“鑰匙”這個單詞的發音一致。在美國英語里，key不發長音，音標就是【ki】。
“實際上我正在讀博，至于我的年齡，保密。而我的星座，同樣保密。”沈奇笑道，這些年輕人朝氣蓬勃，充滿熱情，好奇而興奮，讓他想起了自己的青春歲月。
“你們回答正確一個問題，我就解鎖我的一個秘密。”沈奇說到。
“來吧來吧，Key，兩小時后你走出教室時，將再無秘密可言。”一位白人學生自信滿滿的說到，他有著強烈的探知欲。
“雖然是非歐幾何的導修課，但我在開始非歐幾何的輔導之前，會問幾個數學史的問題。我始終認為了解數學史，才能學好數學。”沈奇說到，“我通過花名冊已經記住了十二位帥哥的名字，接下來我將逐一點名，我想認識你們中的每一位。”
“斯蒂芬-科里，你昨天進了幾個三分球？”沈奇鎖定幾位白人男生，他覺得斯蒂芬-科里應該在幾人之中產生。
“很遺憾，我打的位置是中鋒。”一位身高一米八左右的白人男生舉了舉手，示意自己就是斯蒂芬-科里，這個名字和NBA球星斯蒂芬-庫里的發音一模一樣，唯一不同的是拼寫方法。
“好吧，我們的強力內線斯蒂芬，請告訴我，是誰將歐洲數學從中世紀漫長的黑暗中解救出來的？”沈奇問到。
“毫無疑問，這位救世主是卡丹。”斯蒂芬不假思索的回答到，然后立馬詢問：“Key，請告訴我，你的年齡是？如果你比我的年齡更小，我將無法接受這個現實！”
“我和斐波那契同年。”沈奇在黑板上寫下一行信息，萊昂納多-斐波那契，1175-1250。
“No-Way！”斯蒂芬作出夸張的樣子，他當然知道沈奇不可能和斐波那契同年，他也意識到自己的第一個問題回答錯了，是斐波那契拯救了歐洲數學而不是卡丹。8)
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